机器学习算法系列(七)-对数几率回归算法(一)(Logistic Regression Algorithm)

Saisimonzs 2022/1/14 13:03:39

阅读本文需要的背景知识点:线性回归、最大似然估计、一丢丢编程知识 一、引言前面几节我们学习了标准线性回归,然后介绍了三种正则化的方法 - 岭回归、Lasso回归、弹性网络回归,这些线性模型解决的都是回归的问题。最开始还介绍了两种简单的算法-PLA与口袋算法,他们解…

阅读本文需要的背景知识点:线性回归、最大似然估计、一丢丢编程知识

一、引言

  前面几节我们学习了标准线性回归,然后介绍了三种正则化的方法 - 岭回归、Lasso回归、弹性网络回归,这些线性模型解决的都是回归的问题。最开始还介绍了两种简单的算法-PLA与口袋算法,他们解决的是分类问题。

  那么我们能使用回归的方式来解决分类问题么,答案是肯定的,这就是下面要介绍的模型 - 对数几率回归算法1(Logistic Regression Algorithm),也有被直译为逻辑回归。

二、模型介绍

对数几率回归的模型函数

  既然要通过回归的方式来解决分类的问题,可以通过先进行回归分析,然后通过一个函数将连续的结果映射成离散的分类结果,例如下面的函数表达式:

y={0(f(wTx)≤C)1(f(wTx)>C) y=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \left(f\left(w^{T} x\right) \leq C\right) \\ 1 & \left(f\left(w^{T} x\right)>C\right) \end{array}\right. y={01(f(wTx)C)(f(wTx)>C)

  在介绍对数几率回归模型之前,先来看看一类被称为 S 函数2(Sigmoid function)的函数,这类函数的图像成 S 型,其中最常见的一种函数为逻辑函数3(Logistic function),函数图像如下图所示:

0.png

  通过图像可以看到,这个函数当自变量越大时,函数值越趋近于1,当自变量最小时,函数值越趋近于0,当自变量为0时,函数值为0.5。当上面表达式中的 C 等于 0.5 时,可以看作将连续的结果映射成离散的结果。

  逻辑函数的函数表达式为:

f(z)=11+e−z f(z)=\frac{1}{1+e^{-z}} f(z)=1+ez1

  将线性方程带入逻辑函数中,就得到了对数几率回归的函数方程:

f(x)=11+e−wTx f(x)=\frac{1}{1+e^{-w^Tx}} f(x)=1+ewTx1

对数几率回归的代价函数

  我们需要一个代价函数来表示数据拟合的情况,这时很容易想到的是使用与线性回归一样的均方差4(mean-square error/MSE)的方法来做为代价函数

Cost⁡(w)=∑i=1N(y−y^)2 \operatorname{Cost}(w)=\sum_{i=1}^{N}(y-\hat{y})^{2} Cost(w)=i=1N(yy^)2

  但对数几率回归是使用似然函数5(likelihood function)的对数形式来作为其代价函数,后面会说明为什么使用这种方式比MSE更合适。

最大似然估计:

考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次(正面记为H,反面记为T)。并把抛出一个正面的概率记为 p,抛出一个反面的概率记为 1 - p。假设我们抛出了49个正面,31个反面,即49次H,31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为 1/3、1/2、2/3 。这些硬币没有标记,所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计,基于二项分布中的概率质量函数公式,通过这些试验数据(即采样数据),我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。我们可以看到当 p = 2/3 时,似然函数取得值最大。

L(p=13∣H=49,T=31)=C8049(13)49(1−13)31≈0.000L(p=12∣H=49,T=31)=C8049(12)49(1−12)31≈0.012L(p=23∣H=49,T=31)=C8049(23)49(1−23)31≈0.054 \begin{array}{l} L\left(p=\frac{1}{3} \mid H=49, T=31\right)=C_{80}^{49}\left(\frac{1}{3}\right)^{49}\left(1-\frac{1}{3}\right)^{31} \approx 0.000 \\ L\left(p=\frac{1}{2} \mid H=49, T=31\right)=C_{80}^{49}\left(\frac{1}{2}\right)^{49}\left(1-\frac{1}{2}\right)^{31} \approx 0.012 \\ L\left(p=\frac{2}{3} \mid H=49, T=31\right)=C_{80}^{49}\left(\frac{2}{3}\right)^{49}\left(1-\frac{2}{3}\right)^{31} \approx 0.054 \end{array} L(p=31H=49,T=31)=C8049(31)49(131)310.000L(p=21H=49,T=31)=C8049(21)49(121)310.012L(p=32H=49,T=31)=C8049(32)49(132)310.054

第一种表示方式:

  在二元分类的情况下,例如 y 取 0 或者 1,将对数几率回归的函数方程的结果看作概率,可以写作下式:

{P(y=1∣x,w)=h(x)P(y=0∣x,w)=1−h(x) \left\{\begin{array}{ll} P(y=1 \mid x, w)= & h(x) \\ P(y=0 \mid x, w)= & 1-h(x) \end{array}\right. {P(y=1x,w)=P(y=0x,w)=h(x)1h(x)

  由于 y 只能取 0 或者 1,可以将上面两个式写成一个式子:

P(y∣x,w)=h(x)y+[1−h(x)]1−y P(y \mid x, w)=h(x)^{y}+[1-h(x)]^{1-y} P(yx,w)=h(x)y+[1h(x)]1y

  写出似然函数,其中 N 为样本总数量,将每一个概率累乘就得到了似然函数:

L(w)=∏i=1Nh(Xi)yi[1−h(Xi)]1−yi L(w)=\prod_{i=1}^{N} h\left(X_{i}\right)^{y_{i}}\left[1-h\left(X_{i}\right)\right]^{1-y_{i}} L(w)=i=1Nh(Xi)yi[1h(Xi)]1yi

  在 w 的所有可能取值中找一个使得似然函数取到最大值,这时求得的解就是 w 的最大似然估计6(maximum likelihood estimation/MLE)

w=argmax⁡w(L(w))=argmax⁡w(∏i=1Nh(Xi)yi[1−h(Xi)]1−yi) w=\underset{w}{\operatorname{argmax}}(L(w))=\underset{w}{\operatorname{argmax}}\left(\prod_{i=1}^{N} h\left(X_{i}\right)^{y_{i}}\left[1-h\left(X_{i}\right)\right]^{1-y_{i}}\right) w=wargmax(L(w))=wargmax(i=1Nh(Xi)yi[1h(Xi)]1yi)

  由于带连乘运算的代价函数不好优化,这里我们对似然函数取自然对数并且取反,S 函数的取值为(0,1),似然函数的取值也是(0,1),对其取对数不影响其单调性。这样就得到了对数几率回归的代价函数:

Cost⁡(w)=−ln⁡L(w)=−∑i=1N(yiln⁡h(Xi)+(1−yi)ln⁡(1−h(Xi))) \begin{aligned} \operatorname{Cost}(w) &=-\ln L(w) \\ &=-\sum_{i=1}^{N}\left(y_{i} \ln h\left(X_{i}\right)+\left(1-y_{i}\right) \ln \left(1-h\left(X_{i}\right)\right)\right) \end{aligned} Cost(w)=lnL(w)=i=1N(yilnh(Xi)+(1yi)ln(1h(Xi)))

  由于加了一步取反的操作,这是就不是求最大值,而是将其改为求最小值:

w=argmin⁡w(−∑i=1N(yiln⁡h(Xi)+(1−yi)ln⁡(1−h(Xi)))) w=\underset{w}{\operatorname{argmin}}\left(-\sum_{i=1}^{N}\left(y_{i} \ln h\left(X_{i}\right)+\left(1-y_{i}\right) \ln \left(1-h\left(X_{i}\right)\right)\right)\right) w=wargmin(i=1N(yilnh(Xi)+(1yi)ln(1h(Xi))))

第二种表示方式:

  我们先来看下 S 函数的一个性质:

f(z)=11+e−z=ez1+ezf(−z)=11+ez=1−f(z) \begin{aligned} f(z) &=\frac{1}{1+e^{-z}}=\frac{e^{z}}{1+e^{z}} \\ f(-z) &=\frac{1}{1+e^{z}}=1-f(z) \end{aligned} f(z)f(z)=1+ez1=1+ezez=1+ez1=1f(z)

  在二元分类的情况下, 当 y 的值取 -1 或者 1时,将对数几率回归的函数方程的结果看作概率,可以写作下式

{P(y=1∣x,w)=h(x)=11+e−wTxP(y=−1∣x,w)=1−h(x)=h(−x)=11+ewTx \left\{\begin{array}{l} P(y=1 \mid x, w)=h(x)=\frac{1}{1+e^{-w^{T} x}} \\ P(y=-1 \mid x, w)=1-h(x)=h(-x)=\frac{1}{1+e^{w^{T} x}} \end{array}\right. {P(y=1x,w)=h(x)=1+ewTx1P(y=1x,w)=1h(x)=h(x)=1+ewTx1

  由于 y 只能取 -1 或者 1,可以将上面两个式写成一个式子:

P(y∣x,w)=11+e−ywTx P(y \mid x, w)=\frac{1}{1+e^{-y w^{T} x}} P(yx,w)=1+eywTx1

  写出似然函数,其中 N 为样本总数量,将每一个概率累乘就得到了似然函数:

L(w)=∏i=1N11+e−yiwTXi L(w)=\prod_{i=1}^{N} \frac{1}{1+e^{-y_{i} w^{T} X_{i}}} L(w)=i=1N1+eyiwTXi1

  还是求最大似然估计:

w=argmax⁡w(∏i=1N11+e−yiwTXi) w=\underset{w}{\operatorname{argmax}}\left(\prod_{i=1}^{N} \frac{1}{1+e^{-y_{i} w^{T} X_{i}}}\right) w=wargmax(i=1N1+eyiwTXi1)

  这里与第一种方式一样,我们对似然函数取自然对数并且取反,就得到了对数几率回归的代价函数:

Cost⁡(w)=−ln⁡L(w)=−∑i=1Nln⁡11+e−yiwTXi=−∑i=1Nln⁡1−ln⁡(1+e−yiwTXi)=∑i=1Nln⁡(1+e−yiwTXi) \begin{aligned} \operatorname{Cost}(w) &=-\ln L(w) \\ &=-\sum_{i=1}^{N} \ln \frac{1}{1+e^{-y_{i} w^{T} X_{i}}} \\ &=-\sum_{i=1}^{N} \ln 1-\ln \left(1+e^{-y_{i} w^{T} X_{i}}\right) \\ &=\sum_{i=1}^{N} \ln \left(1+e^{-y_{i} w^{T} X_{i}}\right) \end{aligned} Cost(w)=lnL(w)=i=1Nln1+eyiwTXi1=i=1Nln1ln(1+eyiwTXi)=i=1Nln(1+eyiwTXi)

  也是求代价函数的最小值:

w=argmin⁡w(∑i=1Nln⁡(1+e−yiwTXi)) w=\underset{w}{\operatorname{argmin}}\left(\sum_{i=1}^{N} \ln \left(1+e^{-y_{i} w^{T} X_{i}}\right)\right) w=wargmin(i=1Nln(1+eyiwTXi))

  在sklearn中使用的就是上面这个代价函数。

对数几率回归的正则化:

  与线性回归一样,对数几率回归的代价函数也可以加上正则化的惩罚项,有两种方式来添加正则项,一个是给正则项添加系数来控制大小,另一个是给代价函数添加系数来控制大小,本质作用是一样的,在 sklearn 中使用的是(2)式中的形式。

  L1 正则化:

Cost⁡(w)L1=Cost⁡(w)+λ∥w∥1(1)=C⋅Cost⁡(w)+∥w∥1(2) \begin{aligned} \operatorname{Cost}(w)_{L 1} &=\operatorname{Cost}(w)+\lambda\|w\|_{1} & (1) \\ &=C \cdot \operatorname{Cost}(w)+\|w\|_{1} & (2) \end{aligned} Cost(w)L1=Cost(w)+λw1=CCost(w)+w1(1)(2)

  L2 正则化:

Cost⁡(w)L2=Cost⁡(w)+λ∥w∥22(1)=C⋅Cost⁡(w)+∥w∥22(2) \begin{aligned} \operatorname{Cost}(w)_{L2} &=\operatorname{Cost}(w)+\lambda\|w\|_{2}^2 & (1) \\ &=C \cdot \operatorname{Cost}(w)+\|w\|_{2}^2 & (2) \end{aligned} Cost(w)L2=Cost(w)+λw22=CCost(w)+w22(1)(2)

  弹性网络正则化:

Cost⁡(w)EN=Cost⁡(w)+λρ∥w∥1+λ(1−ρ)2∥w∥22=C⋅Cost⁡(w)+ρ∥w∥1+(1−ρ)2∥w∥22 \begin{aligned} \operatorname{Cost}(w)_{E N} &=\operatorname{Cost}(w)+\lambda \rho\|w\|_{1}+\frac{\lambda(1-\rho)}{2}\|w\|_{2}^{2} \\ &=C \cdot \operatorname{Cost}(w)+\rho\|w\|_{1}+\frac{(1-\rho)}{2}\|w\|_{2}^{2} \end{aligned} Cost(w)EN=Cost(w)+λρw1+2λ(1ρ)w22=CCost(w)+ρw1+2(1ρ)w22

  对数几率回归的代价函数最小化的优化方法有多种,例如前面几节介绍过的坐标下降法。无正则化或者L2正则化的情况下可以用梯度下降法7 (Gradient descent)、牛顿法8 (Newton’s method)来等等。

  在 scikit-learn 中可以看到更多的优化方法,其中大多是前面提到算法的加速版本或是变体,例如随机平均梯度下降法(Stochastic Average Gradient/SAG)、随机平均梯度下降加速法(SAGA)、L-BFGS算法(Limited-memory Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno/L-BFGS),后面会逐个介绍这些算法。

三、算法步骤

梯度下降法

  梯度下降法与坐标下降法的思路一样,都是通过一次一次更新权重系数 w,一步一步的逼近代价函数的最小值。坐标下降法是通过固定某一个坐标轴,求出局部最优解,然后更新 w 的值。梯度下降法则是求出函数的梯度后,沿着梯度的反方向再找到一个合适的步长系数迭代更新 w 的值。

  可以理解为碗中的一个小球从某一点自由滚落,必然会沿着变化量最大的方向移动,最后到达最低点。

1.png
22.png

坐标下降法 VS 梯度下降法

  具体步骤:

(1)初始化权重系数 w,例如初始化为零向量

(2)计算下降方向,梯度下降法将梯度的反方向作为下降方向

Δw=−∂Cost⁡(w)∂w \Delta w = -\frac{\partial \operatorname{Cost}(w) }{\partial w} Δw=wCost(w)

(3)使用线搜索9 方法来计算下降的步长 α,以使每一步迭代都满足Wolfe条件10

(4)更新权重系数 w

w=w+αΔw w=w+\alpha \Delta w w=w+αΔw

(5)重复步骤(2)~(4)直到梯度的大小足够小

牛顿法

  牛顿法与梯度下降法一样,也是一种下降方法,两个算法的步骤大致相同,区别就在于选择的下降方向不一样。

25.png

绿色为梯度下降,红色为牛顿法,牛顿法的路径更加直接

  具体步骤:

(1)初始化权重系数 w,例如初始化为零向量

(2)计算下降方向,牛顿法使用二阶泰勒展开,将黑塞矩阵的逆矩阵与梯度的乘积的反方向作为下降方向

Δw=−H−1∂Cost⁡(w)∂w \Delta w=-H^{-1} \frac{\partial \operatorname{Cost}(w)}{\partial w} Δw=H1wCost(w)

(3)使用线搜索9 方法来计算下降的步长 α,以使每一步迭代都满足Wolfe条件10

(4)更新权重系数 w

w=w+αΔw w=w+\alpha \Delta w w=w+αΔw

(5)重复步骤(2)~(4)直到梯度的大小足够小

四、原理证明

对数几率回归的代价函数是凸函数

  凸函数除了通过前面几节中介绍的方法判断外,如果函数是二阶可导的,当函数的黑塞矩阵是半正定的,该函数就为凸函数。

多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的,当且仅当它的黑塞矩阵在凸集的内部是半正定的。

  • 第一种代价函数:

(1)将代价函数连加运算去掉得到一个新函数

(2)带入 h(x)

(3)将 e 的指数符号变换一下

(4)对数除法展开为对数的减法

(5)展开括号

(6)第二项与第四项一样,化简得到

f(w)=−(yln⁡h(x)+(1−y)ln⁡(1−h(x)))(1)=−(yln⁡11+e−wTx+(1−y)ln⁡(1−11+e−wTx))(2)=−(yln⁡ewTx1+ewTx+(1−y)ln⁡(11+ewTx))(3)=−y(wTx−ln⁡(1+ewTx))−(1−y)(0−ln⁡(1+ewTx))(4)=−ywTx+y(1+ewTx)+ln⁡(1+ewTx)−y(1+ewTx)(5)=ln⁡(1+ewTx)−ywTx(6) \begin{aligned} f(w) &=-(y \ln h(x)+(1-y) \ln (1-h(x))) & (1)\\ &=-\left(y \ln \frac{1}{1+e^{-w^{T} x}}+(1-y) \ln \left(1-\frac{1}{1+e^{-w^{T} x}}\right)\right) & (2)\\ &=-\left(y \ln \frac{e^{w^{T} x}}{1+e^{w^{T} x}}+(1-y) \ln \left(\frac{1}{1+e^{w^{T} x}}\right)\right) & (3)\\ &=-y\left(w^{T} x-\ln \left(1+e^{w^{T} x}\right)\right)-(1-y)\left(0-\ln \left(1+e^{w^{T} x}\right)\right) & (4) \\ &=-y w^{T} x+y\left(1+e^{w^{T} x}\right)+\ln \left(1+e^{w^{T} x}\right)-y\left(1+e^{w^{T} x}\right) & (5)\\ &=\ln \left(1+e^{w^{T} x}\right)-y w^{T} x & (6) \end{aligned} f(w)=(ylnh(x)+(1y)ln(1h(x)))=(yln1+ewTx1+(1y)ln(11+ewTx1))=(yln1+ewTxewTx+(1y)ln(1+ewTx1))=y(wTxln(1+ewTx))(1y)(0ln(1+ewTx))=ywTx+y(1+ewTx)+ln(1+ewTx)y(1+ewTx)=ln(1+ewTx)ywTx(1)(2)(3)(4)(5)(6)

(1)上面得到的 f(w)

(2)根据求导公式求一阶导数

(3)利用S函数的性质,将分子化简一下并合并同类项

(4)根据求导公式求二阶导数

(5)整理一下结果,可以看到二阶导数是一个正数乘以一个由 x 向量与 x 向量组成的矩阵

f(w)=ln⁡(1+ewTx)−ywTx(1)∂f(w)∂w=11+ewTxewTxx−yx(2)=(11+e−wTx−y)x(3)∂2f(w)∂w∂wT=−1(1+e−wTx)2e−wTxx(−xT)(4)=e−wTx(1+e−wTx)2xxT(5) \begin{aligned} f(w) &=\ln \left(1+e^{w^{T} x}\right)-y w^{T} x & (1)\\ \frac{\partial f(w)}{\partial w} &=\frac{1}{1+e^{w^{T} x}} e^{w^{T} x} x-y x & (2)\\ &=\left(\frac{1}{1+e^{-w^{T} x}}-y\right) x & (3)\\ \frac{\partial^{2} f(w)}{\partial w \partial w^{T}} &=-\frac{1}{\left(1+e^{-w^{T} x}\right)^{2}} e^{-w^{T} x}x(-x^{T}) & (4)\\ &=\frac{e^{-w^{T} x}}{\left(1+e^{-w^{T} x}\right)^{2}} x x^{T} & (5) \end{aligned} f(w)wf(w)wwT2f(w)=ln(1+ewTx)ywTx=1+ewTx1ewTxxyx=(1+ewTx1y)x=(1+ewTx)21ewTxx(xT)=(1+ewTx)2ewTxxxT(1)(2)(3)(4)(5)

  • 第二种代价函数:

(1)将代价函数连加运算去掉得到一个新函数

(2)根据求导公式求一阶导数

(3)利用S函数的性质,将分子化简一下

(4)根据求导公式求二阶导数

(5)y的平方为1,整理一下结果,可以看到二阶导数也是一个正数乘以一个由 x 向量与 x 向量组成的矩阵

f(w)=ln⁡(1+e−ywTx)(1)∂f(w)∂w=11+e−ywTxe−ywTx(−yx)(2)=−y1+eywTxx(3)∂2f(w)∂w∂wT=y(1+eywTx)2eywTxx(yxT)(4)=eywTx(1+eywTx)2xxT(5) \begin{aligned} f(w) &=\ln \left(1+e^{-y w^{T} x}\right) & (1)\\ \frac{\partial f(w)}{\partial w} &=\frac{1}{1+e^{-y w^{T} x}} e^{-y w^{T} x}\left(-y x\right) & (2)\\ &=-\frac{y}{1+e^{y w^{T} x}} x & (3)\\ \frac{\partial^{2} f(w)}{\partial w \partial w^{T}} &=\frac{y}{\left(1+e^{y w^{T} x}\right)^{2}} e^{y w^{T} x} x \left(yx^{T}\right) & (4)\\ &=\frac{e^{y w^{T} x}}{\left(1+e^{y w^{T} x}\right)^{2}} x x^{T} & (5) \end{aligned} f(w)wf(w)wwT2f(w)=ln(1+eywTx)=1+eywTx1eywTx(yx)=1+eywTxyx=(1+eywTx)2yeywTxx(yxT)=(1+eywTx)2eywTxxxT(1)(2)(3)(4)(5)

(1)令二阶导数为 H 矩阵

(2)矩阵正定的判断方法,带入二阶导数,两种二阶导数的常数部分都用 C 表示,并且 C>0

(3)利用转置的性质改写一下

(4)可以看到最后的结果大于等于 0,说明 H 为半正定矩阵

H=∂2f(w)∂w∂wT(1)vTHv=C⋅vTxxTv(C>0)(2)=C⋅(xTv)T(xTv)(3)=C⋅∣xTv∣2≥0(4) \begin{aligned} H &=\frac{\partial^{2} f(w)}{\partial w \partial w^{T}} & (1) \\ v^{T} H v &=C \cdot v^{T} x x^{T} v \quad(C>0) & (2) \\ &=C \cdot\left(x^{T} v\right)^{T}\left(x^{T} v\right) & (3) \\ &=C \cdot\left|x^{T} v\right|^{2} \geq 0 & (4) \end{aligned} HvTHv=wwT2f(w)=CvTxxTv(C>0)=C(xTv)T(xTv)=CxTv20(1)(2)(3)(4)

  两种新函数的黑塞矩阵都是半正定的,那么新函数是凸函数,多个凸函数相加的函数依然是凸函数,则说明代价函数是一个凸函数,证毕。

为什么不用MSE作为代价函数11

  • MSE 作为代价函数对错误数据的惩罚力度不足

  当预测数据完全错误时(例如实际值为 0 预测值为 1,或实际值为 1 预测值为 0)

  用MSE作为代价函数:

 Cost =(1−0)2=1 \text { Cost }=(1-0)^{2}=1  Cost =(10)2=1

  使用对数似然函数作为代价函数(第一种):

 Cost =−(1⋅ln⁡0+(1−1)⋅ln⁡(1−0))=∞ \text { Cost }=-(1 \cdot \ln 0+(1-1) \cdot \ln (1-0))=\infty  Cost =(1ln0+(11)ln(10))=

  使用对数似然函数作为代价函数(第二种):
(1)实际值为 1 预测值为 -1
(2)预测值为 -1,其对应的h(x) = 0
(3)这时线性组合的值为负无穷大
(4)这时的代价为无穷大

y=1,y^=−1(1)h(x)=0(2)wTx=−∞(3) Cost =ln⁡(1+e−1⋅(−∞))=∞(4) \begin{array}{l} y=1, \hat{y}=-1 & (1)\\ h(x)=0 & (2)\\ w^{T} x=-\infty & (3)\\ \text { Cost }=\ln \left(1+e^{-1 \cdot(-\infty)}\right)=\infty & (4) \end{array} y=1,y^=1h(x)=0wTx= Cost =ln(1+e1())=(1)(2)(3)(4)

  可以看到 MSE 的代价值远远小于对数似然函数的代价值,说明 MSE 的代价函数不会重重地惩罚错误分类,哪怕是完全错误的分类。

  • MSE 作为代价函数不是一个凸函数

  先来看下上面 S函数导函数的一个性质,下面会用到这个性质:

h(z)=11+e−z∂h(z)∂z=−1(1+e−z)2e−z(−1)=e−z(1+e−z)2=11+e−ze−z1+e−z=h(z)(1−h(z)) \begin{aligned} h(z) &=\frac{1}{1+e^{-z}} \\ \frac{\partial h(z)}{\partial z} &=-\frac{1}{\left(1+e^{-z}\right)^{2}} e^{-z}(-1) \\ &=\frac{e^{-z}}{\left(1+e^{-z}\right)^{2}} \\ &=\frac{1}{1+e^{-z}} \frac{e^{-z}}{1+e^{-z}} \\ &=h(z)(1-h(z)) \end{aligned} h(z)zh(z)=1+ez1=(1+ez)21ez(1)=(1+ez)2ez=1+ez11+ezez=h(z)(1h(z))

(1)将 MSE 作为代价函数

(2)求一阶导数,由于直接对 w 求导较为复杂,所以拆解为两步求导

(3)先对 y^ 求导,后面再对 w 求导,用到了上面说的S函数的性质,注意最后还有一个x

(4)展开括号

(5)求二阶导数,也是拆解为两步求导

(6)先对 y^ 求导,后面再对 w 求导

Cost⁡(w)=(y−y^)2(1)∂Cost⁡(w)∂w=∂Cost⁡(w)∂y^∂y^∂w(2)=2(y−y^)(−1)y^(1−y^)x(3)=−2(yy^−y^2−yy^2+y^3)x(4)∂2Cost⁡(w)∂w∂wT=∂∂Cost⁡(w)∂w∂y^∂y^∂wT(5)=−2(y−2y^−2yy^+3y^2)y^(1−y^)xxT(6) \begin{aligned} \operatorname{Cost}(w) &=(y-\hat{y})^{2} & (1)\\ \frac{\partial \operatorname{Cost}(w)}{\partial w} &=\frac{\partial \operatorname{Cost}(w)}{\partial \hat{y}} \frac{\partial \hat{y}}{\partial w} & (2)\\ &=2(y-\hat{y})(-1) \hat{y}(1-\hat{y}) x & (3)\\ &=-2\left(y \hat{y}-\hat{y}^{2}-y \hat{y}^{2}+\hat{y}^{3}\right) x & (4)\\ \frac{\partial^{2} \operatorname{Cost}(w)}{\partial w\partial w^T} &=\frac{\partial \frac{\partial \operatorname{Cost}(w)}{\partial w}}{\partial \hat{y}} \frac{\partial \hat{y}}{\partial w^T} & (5)\\ &=-2\left(y-2 \hat{y}-2 y \hat{y}+3 \hat{y}^{2}\right) \hat{y}(1-\hat{y}) xx^{T} & (6) \end{aligned} Cost(w)wCost(w)wwT2Cost(w)=(yy^)2=y^Cost(w)wy^=2(yy^)(1)y^(1y^)x=2(yy^y^2yy^2+y^3)x=y^wCost(w)wTy^=2(y2y^2yy^+3y^2)y^(1y^)xxT(1)(2)(3)(4)(5)(6)

  同上面证明一样,现在只需要看常数项是否是大于等于 0

(1)当 y = 1 时,带入二阶导函数中

(2)因式分解

(3)可以看到,当 y^ 取不同范围的时候,常数项不是一直都是大于等于0的

g(y^)=−2(1−4y^+3y^2)(y=1)(1)=−2(3y^−1)(y^−1)(2)⇒{y^∈[0,13)g(y^)<0y^∈[13,1]g(y^)≥0(3) \begin{aligned} g(\hat{y}) &=-2\left(1-4 \hat{y}+3 \hat{y}^{2}\right) \quad(y=1) & (1) \\ &=-2(3 \hat{y}-1)(\hat{y}-1) & (2) \\ & \Rightarrow\left\{\begin{array}{ll} \hat{y} \in\left[0, \frac{1}{3}\right) & g(\hat{y})<0 \\ \hat{y} \in\left[\frac{1}{3}, 1\right] & g(\hat{y}) \geq 0 \end{array}\right. & (3) \end{aligned} g(y^)=2(14y^+3y^2)(y=1)=2(3y^1)(y^1){y^[0,31)y^[31,1]g(y^)<0g(y^)0(1)(2)(3)

(1)当 y = 0 时,带入二阶导函数中

(2)因式分解

(3)可以看到,当 y^ 取不同范围的时候,常数项也不是一直都是大于等于0的

g(y^)=−2(3y^2−2y^)(y=0)(1)=−2y^(3y^−2)(2)⇒{y^∈[0,23]g(y^)≥0y^∈(23,1]g(y^)<0(3) \begin{array}{rlr} g(\hat{y}) & =-2\left(3 \hat{y}^{2}-2 \hat{y}\right) \quad (y=0) & (1)\\ & =-2 \hat{y}(3 \hat{y}-2) & (2)\\ & \Rightarrow\left\{\begin{aligned} \hat{y} \in\left[0, \frac{2}{3}\right] & g(\hat{y}) \geq 0 \\ \hat{y} \in\left(\frac{2}{3}, 1\right] & g(\hat{y})<0 \end{aligned}\right. & (3) \end{array} g(y^)=2(3y^22y^)(y=0)=2y^(3y^2)y^[0,32]y^(32,1]g(y^)0g(y^)<0(1)(2)(3)

  由于使用MSE作为代价函数的黑塞矩阵不能保证是半正定的,说明其代价函数不是一个凸函数。

梯度下降法的下降方向

  先来看下一元的泰勒公式12 ,其中o(…) 表示括号内式子的高阶无穷小,多元泰勒公式就是前面的一、二阶导数改写成雅可比矩阵和黑塞矩阵的形式:

f(x)=f(a)+f′(a)1!(x−a)+f(2)(a)2!(x−a)2+⋯+f(n)(a)n!(x−a)n+o((x−a)n) f(x)=f(a)+\frac{f^{\prime}(a)}{1 !}(x-a)+\frac{f^{(2)}(a)}{2 !}(x-a)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n}+o\left((x-a)^{n}\right) f(x)=f(a)+1!f(a)(xa)+2!f(2)(a)(xa)2++n!f(n)(a)(xa)n+o((xa)n)

  我的目标是每次迭代后的代价函数值比上次都小:

Cost⁡(wn+1)<Cost⁡(wn) \operatorname{Cost}(w_{n+1}) \lt \operatorname{Cost}(w_{n}) Cost(wn+1)<Cost(wn)

  将对数几率回归的代价函数用多元的一阶泰勒公式近似,雅可比矩阵为代价函数的梯度:

Cost⁡(w)≈Cost⁡(A)+∇Cost⁡(A)T(w−A) \operatorname{Cost}(w) \approx \operatorname{Cost}(A)+\nabla \operatorname{Cost}(A)^{T}(w-A) Cost(w)Cost(A)+Cost(A)T(wA)

(1)将 w_n 带入 A,w_n+1 带入 w

(2)w_n+1 - w_n = Δw,移项可以看到需要保证梯度乘 Δw 小于 0

(3)当 Δw 为负的梯度时,可以保证梯度乘 Δw 小于 0

(4)这样就得到了梯度下降的下降方向

Cost⁡(wn+1)≈Cost⁡(wn)+∇Cost⁡(wn)T(wn+1−wn)(1)Cost⁡(wn+1)−Cost⁡(wn)≈∇Cost⁡(wn)TΔw<0(2)∇Cost⁡(wn)TΔw=−∇Cost⁡(wn)T∇Cost⁡(wn)<0(3)Δw=−∇Cost⁡(wn)(4) \begin{aligned} \operatorname{Cost}\left(w_{n+1}\right) & \approx \operatorname{Cost}\left(w_{n}\right)+\nabla \operatorname{Cost}\left(w_{n}\right)^{T}\left(w_{n+1}-w_{n}\right) & (1) \\ \operatorname{Cost}\left(w_{n+1}\right)-\operatorname{Cost}\left(w_{n}\right) & \approx \nabla \operatorname{Cost}\left(w_{n}\right)^{T} \Delta w<0 & (2) \\ \nabla \operatorname{Cost}\left(w_{n}\right)^{T} \Delta w &=-\nabla \operatorname{Cost}\left(w_{n}\right)^{T} \nabla \operatorname{Cost}\left(w_{n}\right)<0 & (3) \\ \Delta w &=-\nabla \operatorname{Cost}\left(w_{n}\right) & (4) \end{aligned} Cost(wn+1)Cost(wn+1)Cost(wn)Cost(wn)TΔwΔwCost(wn)+Cost(wn)T(wn+1wn)Cost(wn)TΔw<0=Cost(wn)TCost(wn)<0=Cost(wn)(1)(2)(3)(4)

牛顿法的下降方向

  将对数几率回归的代价函数用多元的二阶泰勒公式近似,雅可比矩阵为代价函数的梯度,H为代价函数的黑塞矩阵:

Cost⁡(w)≈Cost⁡(A)+∇Cost⁡(A)T(w−A)+12(w−A)TH(w−A) \operatorname{Cost}(w) \approx \operatorname{Cost}(A)+\nabla \operatorname{Cost}(A)^{T}(w-A)+\frac{1}{2}(w-A)^{T} H(w-A) Cost(w)Cost(A)+Cost(A)T(wA)+21(wA)TH(wA)

(1)将 w_n 带入 A,并对近似函数求梯度,另梯度等于 0 向量,这时取得当前的极小值

(2)这样就得到了牛顿法的下降方向

∇Cost⁡(w)=∇Cost⁡(wn)+H(w−wn)=0(1)w=wn−H−1∇Cost⁡(wn)(2) \begin{aligned} \nabla \operatorname{Cost}(w) &=\nabla \operatorname{Cost}\left(w_{n}\right)+H\left(w-w_{n}\right)=0 & (1) \\ w &=w_{n}-H^{-1} \nabla \operatorname{Cost}\left(w_{n}\right) & (2) \end{aligned} Cost(w)w=Cost(wn)+H(wwn)=0=wnH1Cost(wn)(1)(2)

五、代码实现

使用 Python 实现对数几率回归算法(梯度下降法):

import numpy as np

c_1 = 1e-4
c_2 = 0.9

def cost(X, y, w):
    """
    对数几率回归的代价函数
    args:
        X - 训练数据集
        y - 目标标签值
        w - 权重系数
    return:
        代价函数值
    """
    power = -np.multiply(y, X.dot(w))
    p1 = power[power <= 0]
    p2 = -power[-power < 0]
    # 解决 python 计算 e 的指数幂溢出的问题
    return np.sum(np.log(1 + np.exp(p1))) + np.sum(np.log(1 + np.exp(p2)) - p2)

def dcost(X, y, W):
    """
    对数几率回归的代价函数的梯度
    args:
        X - 训练数据集
        y - 目标标签值
        w - 权重系数
    return:
        代价函数的梯度
    """
    return X.T.dot(np.multiply(-y, 1 / (1 + np.exp(np.multiply(y, X.dot(w))))))

def direction(d):
    """
    更新的方向
    args:
        d - 梯度
    return:
        更新的方向
    """
    return -d

def sufficientDecrease(X, y, w, step):
    """
    判断是否满足充分下降条件(sufficient decrease condition)
    args:
        X - 训练数据集
        y - 目标标签值
        w - 权重系数
        step - 步长
    return:
        是否满足充分下降条件
    """
    d = dcost(X, y, w)
    p = direction(d)
    return cost(X, y, w + step * p) <= cost(X, y, w) + c_1 * step * p.T.dot(d)

def curvature(X, y, w, step):
    """
    判断是否满足曲率条件(curvature condition)
    args:
        X - 训练数据集
        y - 目标标签值
        w - 权重系数
        step - 步长
    return:
        是否满足曲率条件
    """
    d = dcost(X, y, w)
    p = direction(d)
    return -p.T.dot(dcost(X, y, w + step * p)) <= -c_2 * p.T.dot(d)

def select(step_low, step_high):
    """
    在范围内选择一个步长,直接取中值
    args:
        step_low - 步长范围开始值
        step_high - 步长范围结束值
    return:
        步长
    """
    return (step_low + step_high) / 2

def lineSearch(X, y, w, step_init, step_max):
    """
    线搜索步长,使其满足 Wolfe 条件
    args:
        X - 训练数据集
        y - 目标标签值
        w - 权重系数
        step_init - 步长初始值
        step_max - 步长最大值
    return:
        步长
    """
    step_i = step_init
    step_low = step_init
    step_high = step_max
    i = 1
    d = dcost(X, y, w)
    p = direction(d)
    while (True):
        # 不满足充分下降条件或者后面的代价函数值大于前一个代价函数值
        if (not sufficientDecrease(X, y, w, step_i) or (cost(X, y, w + step_i * p) >= cost(X, y, w + step_low * p) and i > 1)):
            # 将当前步长作为搜索的右边界
            # return search(X, y, w, step_prev, step_i)
            step_high = step_i
        else:
            # 满足充分下降条件并且满足曲率条件,即已经满足了 Wolfe 条件
            if (curvature(X, y, w, step_i)):
                # 直接返回当前步长
                return step_i
            step_low = step_i
        # 选择下一个步长
        step_i = select(step_low, step_high)
        i = i + 1

def logisticRegressionGd(X, y, max_iter=1000, tol=1e-4, step_init=0, step_max=10):
    """
    对数几率回归,使用梯度下降法(gradient descent)
    args:
        X - 训练数据集
        y - 目标标签值
        max_iter - 最大迭代次数
        tol - 变化量容忍值
        step_init - 步长初始值
        step_max - 步长最大值
    return:
        w - 权重系数
    """
    # 初始化 w 为零向量
    w = np.zeros(X.shape[1])
    # 开始迭代
    for it in range(max_iter):
        # 计算梯度
        d = dcost(X, y, w)
        # 当梯度足够小时,结束迭代
        if np.linalg.norm(x=d, ord=1) <= tol:
            break
        # 使用线搜索计算步长 
        step = lineSearch(X, y, w, step_init, step_max)
        # 更新权重系数 w
        w = w + step * direction(d)
    return w

使用 Python 实现对数几率回归算法(牛顿法):

import numpy as np

c_1 = 1e-4
c_2 = 0.9

def cost(X, y, w):
   """
   对数几率回归的代价函数
   args:
       X - 训练数据集
       y - 目标标签值
       w - 权重系数
   return:
       代价函数值
   """
   power = -np.multiply(y, X.dot(w))
   p1 = power[power <= 0]
   p2 = -power[-power < 0]
   # 解决 python 计算 e 的指数幂溢出的问题
   return np.sum(np.log(1 + np.exp(p1))) + np.sum(np.log(1 + np.exp(p2)) - p2)

def dcost(X, y, w):
   """
   对数几率回归的代价函数的梯度
   args:
       X - 训练数据集
       y - 目标标签值
       w - 权重系数
   return:
       代价函数的梯度
   """
   return X.T.dot(np.multiply(-y, 1 / (1 + np.exp(np.multiply(y, X.dot(w))))))

def ddcost(X, y, w):
   """
   对数几率回归的代价函数的黑塞矩阵
   args:
       X - 训练数据集
       y - 目标标签值
       w - 权重系数
   return:
       代价函数的黑塞矩阵
   """
   exp = np.exp(np.multiply(y, X.dot(w)))
   result = np.multiply(exp, 1 / np.square(1 + exp))
   X_r = np.zeros(X.shape)
   for i in range(X.shape[1]):
       X_r[:, i] = np.multiply(result, X[:, i])
   return X_r.T.dot(X)

def direction(d, H):
   """
   更新的方向
   args:
       d - 梯度
       H - 黑塞矩阵
   return:
       更新的方向
   """
   return - np.linalg.inv(H).dot(d)

def sufficientDecrease(X, y, w, step):
   """
   判断是否满足充分下降条件(sufficient decrease condition)
   args:
       X - 训练数据集
       y - 目标标签值
       w - 权重系数
       step - 步长
   return:
       是否满足充分下降条件
   """
   d = dcost(X, y, w)
   H = ddcost(X, y, w)
   p = direction(d, H)
   return cost(X, y, w + step * p) <= cost(X, y, w) + c_1 * step * p.T.dot(d)

def curvature(X, y, w, step):
   """
   判断是否满足曲率条件(curvature condition)
   args:
       X - 训练数据集
       y - 目标标签值
       w - 权重系数
       step - 步长
   return:
       是否满足曲率条件
   """
   d = dcost(X, y, w)
   H = ddcost(X, y, w)
   p = direction(d, H)
   return -p.T.dot(dcost(X, y, w + step * p)) <= -c_2 * p.T.dot(d)

def select(step_low, step_high):
   """
   在范围内选择一个步长
   args:
       step_low - 步长范围开始值
       step_high - 步长范围结束值
   return:
       步长
   """
   return (step_low + step_high) / 2

def lineSearch(X, y, w, step_init, step_max):
   """
   线搜索步长,使其满足 Wolfe 条件
   args:
       X - 训练数据集
       y - 目标标签值
       w - 权重系数
       step_init - 步长初始值
       step_max - 步长最大值
   return:
       步长
   """
   step_i = step_init
   step_low = step_init
   step_high = step_max
   i = 1
   d = dcost(X, y, w)
   H = ddcost(X, y, w)
   p = direction(d, H)
   while (True):
       # 不满足充分下降条件或者后面的代价函数值大于前一个代价函数值
       if (not sufficientDecrease(X, y, w, step_i) or (cost(X, y, w + step_i * p) >= cost(X, y, w + step_low * p) and i > 1)):
           # 将当前步长作为搜索的右边界
           # return search(X, y, w, step_prev, step_i)
           step_high = step_i
       else:
           # 满足充分下降条件并且满足曲率条件,即已经满足了 Wolfe 条件
           if (curvature(X, y, w, step_i)):
               # 直接返回当前步长
               return step_i
           step_low = step_i
       # 选择下一个步长
       step_i = select(step_low, step_high)
       i = i + 1

def logisticRegressionNewton(X, y, max_iter=1000, tol=1e-4, step_init=0, step_max=10):
   """
   对数几率回归,使用牛顿法(newton's method)
   args:
       X - 训练数据集
       y - 目标标签值
       max_iter - 最大迭代次数
       tol - 变化量容忍值
       step_init - 步长初始值
       step_max - 步长最大值
   return:
       w - 权重系数
   """
   # 初始化 w 为零向量
   w = np.zeros(X.shape[1])
   # 开始迭代
   for it in range(max_iter):
       # 计算梯度
       d = dcost(X, y, w)
       # 计算黑塞矩阵
       H = ddcost(X, y, w)
       # 当梯度足够小时,结束迭代
       if np.linalg.norm(d) <= tol:
           break
       # 使用线搜索计算步长 
       step = lineSearch(X, y, w, step_init, step_max)
       # 更新权重系数 w
       w = w + step * direction(d, H)
   return w

六、第三方库实现

scikit-learn13 实现无正则化的对数几率回归:

from sklearn.linear_model import LogisticRegression

# 初始化对数几率回归器,无正则化
reg = LogisticRegression(penalty="none")
# 拟合线性模型
reg.fit(X, y)
# 权重系数
w = reg.coef_
# 截距
b = reg.intercept_

scikit-learn13 实现L1正则化的对数几率回归:

from sklearn.linear_model import LogisticRegression

# 初始化对数几率回归器,L1正则化,使用坐标下降法
reg = LogisticRegression(penalty="l1", C=10, solver="liblinear")
# 拟合线性模型
reg.fit(X, y)
# 权重系数
w = reg.coef_
# 截距
b = reg.intercept_

scikit-learn13 实现L2正则化的对数几率回归:

from sklearn.linear_model import LogisticRegression

# 初始化对数几率回归器,L2正则化
reg = LogisticRegression(penalty="l2", C=10)
# 拟合线性模型
reg.fit(X, y)
# 权重系数
w = reg.coef_
# 截距
b = reg.intercept_

scikit-learn13 实现弹性网络正则化的对数几率回归:

from sklearn.linear_model import LogisticRegression

# 初始化对数几率回归器,弹性网络正则化
reg = LogisticRegression(penalty="elasticnet", C=10, l1_ratio=0.5, solver="saga")
# 拟合线性模型
reg.fit(X, y)
# 权重系数
w = reg.coef_
# 截距
b = reg.intercept_

scikit-learn 每种优化方法所支持的正则项:

44.png

七、动画演示

  下图展示了演示数据,其中红色表示标签值为1、蓝色表示标签值为-1:

45.png

  下图为使用梯度下降法拟合数据的结果,其中浅红色表示拟合后根据权重系数计算出预测值为1的部分,浅蓝色表示拟合后根据权重系数计算出预测值为-1的部分:

46.png

  下图对比了不同的正则化方式对结果的影响,正则化惩罚项系数 C = 0.01,弹性网络中 ρ = 0.5。

47.png

八、思维导图

48.jpeg

九、参考文献

  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_regression
  2. https://en.wikipedia.org/wiki/Sigmoid_function
  3. https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function
  4. https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_squared_error
  5. https://en.wikipedia.org/wiki/Likelihood_function
  6. https://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_likelihood_estimation
  7. https://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_descent
  8. https://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_method_in_optimization
  9. https://en.wikipedia.org/wiki/Line_search
  10. https://en.wikipedia.org/wiki/Wolfe_conditions
  11. https://towardsdatascience.com/why-not-mse-as-a-loss-function-for-logistic-regression-589816b5e03c
  12. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor's_theorem
  13. https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.linear_model.LogisticRegression.html

完整演示请点击这里

注:本文力求准确并通俗易懂,但由于笔者也是初学者,水平有限,如文中存在错误或遗漏之处,恳请读者通过留言的方式批评指正

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[机器学习算法系列(七)-对数几率回归算法(一)(Logistic Regression Algorithm)]http://www.zyiz.net/tech/detail-285030.html

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