LeetCode 974. 和可被 K 整除的子数组 | Python

大梦三千秋 2020/5/28 13:25:26

974. 和可被 K 整除的子数组 题目来源:力扣(LeetCode)https://leetcode-cn.com/problems/subarray-sums-divisible-by-k 题目 给定一个整数数组 A,返回其中元素之和可被 K 整除的(连续、非空)子数组的数目。 示例: 输入:A = [4,5,0,-2,-3,1], K = 5 输出:7 解释:…

974. 和可被 K 整除的子数组


题目来源:力扣(LeetCode)https://leetcode-cn.com/problems/subarray-sums-divisible-by-k

题目


给定一个整数数组 A,返回其中元素之和可被 K 整除的(连续、非空)子数组的数目。

示例:

输入:A = [4,5,0,-2,-3,1], K = 5
输出:7
解释:
有 7 个子数组满足其元素之和可被 K = 5 整除:
[4, 5, 0, -2, -3, 1], [5], [5, 0], [5, 0, -2, -3], [0], [0, -2, -3], [-2, -3]

提示:

  • 1 <= A.length <= 30000
  • -10000 <= A[i] <= 10000
  • 2 <= K <= 10000

解题思路


思路:前缀和

首先这里要提前说明一下,关于除法取整,Python 采用的是向下取整。这里可能跟预想出现偏离的情况,比如,除数为负数的情况。看以下示例:

>>> 10 // 3
3
>>> 10 % 3
1
>>> 10 // -3
-4
>>> 10 % -3
-2

这里可以看到,关于正数取整,取模跟预想都不会有太大的偏离。但是对于负数,出现的结果可能就跟预想的不太一样。这里是因为前面说,Python 采用的是向下取整。

对于 10 ÷ -3 = -3.3333,这时向下取整就会得到 -4,那么余数就是 -2。这就是为什么会出现上面结果的原因。这部分内容仅做一些提示。

在本题当中 K,这里是除数,题目中说明 【2 <= K <= 10000】,所以不会有上面所述的情况。但是 Python 当中负数取余所得的结果是正数,这里跟一些其他编程语言不同。有些语言负数取余的结果是负数,所以要额外进行处理。

本篇幅使用的是前缀和的思想。关于前缀和,大致说明下。

如果要求前 i 项的和,那么:

P[i] = A[0]+A[1]+...+A[i]

相应的前 i-1 项的和为:

P[i-1] = A[0]+A[1]+...+A[i-1]

那么,A[i] 的值也可以表示为

A[i] = P[i] - P[i-1]

那么相应的,如果要计算 i 项到 j 项连续子数组的和,也可用写成如下的形式:

sum[i...j] = P[j] - P[i-1],其中 (0 < i < j)

那么题目中要求,判断子数组的和是否能够被 K 整除,现在就等同于判断 (P[j]-P[i-1]) mod K == 0 是否成立。

在这里,额外提及一个定理:同余定理。

同余定理:给定一个正整数 m,如果两个整数 a 和 b 满足 a-b 能够被 m 整除,即 (a-b)/m 得到一个整数,那么就称整数 a 与 b 对模 m 同余。

那么上面需要判断的式子也就可以转换为求 P[j] mod K == P[i-1] mod K 式子是否成立。

具体的方法:

  • 维护哈希表,其中哈希表为前缀和模 K 的值,为出现的次数。
  • 遍历数组每项,求当前前缀和模 K,存入哈希表中
    • 当不存在表中,则将键跟值存入
    • 存在时,对应键的值 +1
  • 遍历的同时,进行统计,如果哈希表中存在 key 与当前前缀和模 k 的值相等时:
    • 说明前面存在前缀和模 K 的值与此次计算的值相同
    • 将满足条件的 key 出现的次数,累加到结果中

具体的代码实现如下。

代码实现


class Solution:
    def subarraysDivByK(self, A: List[int], K: int) -> int:
        # 这里是考虑前缀和本身被 K 整除的情况
        hashmap = {0: 1}
        pre_sum = 0
        cnt = 0

        for i in range(len(A)):
            pre_sum += A[i]
            # 取模
            mod = pre_sum % K
            # 这里使用字典的 get 方法
            # 当存在相同的键时,累加到 cnt
            if mod in hashmap:
                cnt += hashmap[mod]
                hashmap[mod] += 1
            # 如果键在哈希表中,则次数加 1,
            # 否则初始化为 1
            else:
                hashmap[mod] = 1
        
        return cnt

实现结果


实现结果


以上就是使用前缀和的思路,解决《974. 和可被 K 整除的子数组》问题的主要内容。


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